A convite da Profª Ana Paula Silva, esteve na nossa escola o Professor José Paulo Viana que realizou a palestra "O Fascínio da Probabilidades". O texto que se segue foi retirado de uma gravação que efetuei há uns anos, mas semelhante à realizada, aquando da sua vinda à nossa escola e que gostaria de partilhar convosco.

Profª Susana Martin Tenreiro

A meia sempre no mesmo pé

“... Sempre gostei muito de matemática e probabilidades, e uma coisa que me acontece muitas vezes é associar as probabilidades às coisas que me vão acontecendo na vida, algumas delas um pouco estranhas - pelo menos para quem está de fora -, e durante anos eu não falava nisto às pessoas com medo que achassem que eu era um bocadinho esquisito. Eu vou dar um exemplo:

Uma das coisas que me aconteceu durante muito tempo, era, quando eu de manhã me estava a vestir, a certa altura ia-me calçar, ia calçar as meias e punha-me a pensar, será que esta meia a última vez que a usei foi mesmo para o pé direito? Será que haverá possibilidade dela, alguma vez, sem querer (porque as meias são indistinguíveis), calçar sempre a mesma meia no pé direito e a outra no pé esquerdo? E um dia (eu lembrava-me disto muitas vezes ao vestir), resolvi  fazer as contas e ver qual era a probabilidade disto acontecer e se era possível não a mim, mas a alguém no mundo isto acontecer.

Então fiz os seguintes cálculos:

Considerei que havia 6 mil milhões de pessoas no mundo

População : 6 mil milhões    6 × 10 ⁹

Destes 6 mil milhões de pessoas nem todos usam meias. Na nossa cultura quase toda a gente usa, mas há culturas onde não se usa, portanto a população que usa meias é mais pequena, e admiti que era mil milhões. Há muitos países onde quase ninguém usa meias.

População que usa meias: 10⁹

 

Depois, quantas meias é que uma pessoa usa durante a vida? Fiz uns cálculos com a minha experiência e cheguei à conclusão que usamos 600 pares de meias, não todos de uma vez, portanto,

Cada pessoa usa uns 600 pares de meias durante a vida

Então o total de meias usado será 600 vezes o 10⁹ ou seja:

Total de meias calçadas: 6 × 10¹¹

E agora ainda era preciso descobrir quantas vezes é que uma pessoa usa as meias. Uma pessoa usa as meias, põe para lavar, a seguir volta, vai fazendo isto e a certa altura já não consegue voltar a vestir porque já tem um buraco! Então, pela minha experiência, uma pessoa usa as meias, cada par de meias, umas 40 vezes.

Cada meia pode ser usada umas 40 vezes.

Para uma pessoa usar 40 vezes, a primeira vez pode ser calçada de qualquer maneira, mas a segunda a meia que ficou na 1ª vez no pé direito tem que voltar a ficar no pé direito e daí para a frente sempre! A probabilidade é ½ e esse acontecimento tem que se verificar 39 vezes. A 1ª tanto faz mas a seguir são 39. Portanto,

Total de meias calçadas: 6 × 10¹¹

Probabilidade de calçar as meias da mesma maneira que na vez anterior: 0,5

Probabilidade de calçar sempre as meias da mesma maneira: 0,5 ³⁹

Agora multiplicando pelo número de meias a uso, aí pelo mundo, que são aqueles 6 vezes 10 elevado a 11. E se eu multiplicar a probabilidade pelo número total de experiências obtenho em média quantas vezes é que isto aconteceu. Fazendo as contas, obtenho 1,09.

Nº de casos esperados para uma meia ter sido calçada 40 vezes seguidas no mesmo pé:

6 × 10¹¹× 0,5³⁹ = 1,09

Ou seja há aí uma pessoa no mundo que calçou 40 vezes seguidas a mesma meia no mesmo pé e não se apercebeu! Uma coisa facílima de acontecer, aconteceu, e ela não sabe... “

Data de nascimento

“....Agora vamos mudar de assunto.

Há pouco falámos da data de nascimento e a minha questao é a seguinte:

“Quantas pessoas eu preciso de juntar para que a probabilidade de haver alguém a fazer anos no mesmo dia que eu seja 50%?”

Ora se eu juntar uma pessoa ou duas a probabilidade é muito pequena, portanto vamos calcular quantas pessoas eu preciso de juntar para ter 50% de probabilidade de ter alguém fazer anos no mesmo dia que eu.

Uma das coisas que faço sempre, quase desde que comecei a dar aulas é, na primeira aula,

entrego as fichas, peço aos alunos para preencher e peço que ponham a data de nascimento bem clara, porque quem fizer anos no mesmo dia que eu está passado.

Os alunos arregalam os olhos, e perguntam," está passado"?

Sim, o 10 está garantido, tudo o que fizerem será para subir a nota.

Entusiasmados os alunos preenchem as fichas, a seguir ordeno-as, verifico as datas de nascimento e ninguém acerta.

Fui fazendo isto 1 ano, 2 anos, 3 anos e nada. 4 anos, 5 anos,… e ninguém fazia anos no mesmo dia que eu. Comecei a estranhar, afinal faço anos num dia normal.

Ao fim de 15 anos fui dar aulas à noite e numa das turmas esqueci-me de avisar que quem fizesse anos no mesmo dia que eu estava passado.

Quando eles devolverem as fichas e saíram, lembrei-me e fui ver as datas de nascimento e havia um, um João. Fiquei todo entusiasmado.

Na aula seguinte, chamei pelo João e faltava. Na outra aula voltei a chamar pelo João e faltava. Na outra aula a mesma coisa. O aluno nunca mais apareceu!!…estava passado e nunca mais apareceu!!!

E continuei a fazer isto mais anos e ninguém aparecia. A certa altura até calculei qual a probabilidade de com aquela enxurrada de alunos que já tinha tido, ninguém fazer anos no mesmo dia que eu. Era cerca de 1%, … eu estava com azar!

E um ano apareceu um. Avisei-o, estás passado! Ele espantado disse: “estou passado?” Sim, estás passado.

Corrigi o primeiro teste. Negativa.

Quando fui entregar ele perguntou “ainda estou passado?” Sim, estás passado, mas confesso que fiquei nervoso. Felizmente o rapaz lá conseguiu ter positiva mesmo sem precisar do brinde.

Ora bem,  vamos lá então calcular  quantas pessoas tenho que encontrar para que a probabilidade de haver alguém a fazer anos no mesmo dia que eu seja 50%. ...”

Ora, mais fácil do que calcular a probabilidade de haver pelo menos um é calcular a probabilidade de não haver nenhum.

Quando chega a primeira pessoa, a probabilidade é de  364/365.  Quando chega a segunda pessoa, a probabilidade também é    364/365

Assim a probabilidade de as duas pessoas não fazerem anos no mesmo dia que eu é   
 (364/365) x(364/365)

Vamos continuar a multiplicar  (364/365)x(364/365)x......(364x365)

  e quando o resultado chegar a 0,5 encontrei o número de pessoas.

Assim, a probabilidade de  pessoas não fazerem anos no mesmo dia que eu é  (364/365) elevado a n  e portanto a probabilidade de, num grupo de  pessoas alguém fazer anos no mesmo dia que eu é: 
P(n) = 1 - (364/365) elevado a n.

Como , P(253) é aproximadamente de 0,5 , eu tenho de juntar 253 pessoas.

Nesta sala estão mais ou menos 80 pessoas, por isso a probabilidade de haver alguém que faça anos no mesmo dia que eu é muito baixa.

Alguém faz anos a 17 de Setembro?

Não??, pois …é pena...estavam passados!